算数パズル「チューリング・マシン（Turing Machine）」の内容については、以下の記事を参照ください。

◎ボードゲーム「チューリングマシン」のルールと魅力
◎ボードゲーム「チューリングマシン」を実際に遊んだ感想

★「Ｘパラドックス」の罠に気を付けろ！

　難易度が高くなると、手がかりが集まらないと何を判定しているかが不明な判定カードが出てきます。例えば、下のNo.40のカード。▲か■か●のいずれかについて、３との大小関係を比較する判定カードです。ただ、対象が▲か■か●かは、手がかりを集めないと分かりません。


　このような判定カードが使われる場合、判定結果が○でも×でも、いったい何が判定されたのか、混乱してしまう場合があります。判定結果を取り違えて、あるべき可能性を無いとしてしまう誤りを、説明書では「Ｘパラドックス（エックス・パラドックス／クロス・パラドックス）」と呼んでいるようです。

★判定結果の選択肢が消えれば、数字の選択肢も消える？

　上述のような複雑な判定を行うカードを、どう取り扱えばよいのか。これを検討するために、まずは下の最も基本的なカード(No.2)から考えてみます。このカードでは、▲の数字について、３との大小関係を判定します。


　このカードによる判定結果は、以下の３通りです。
ａ）▲＜３　すなわち、▲＝１または２
ｂ）▲＝３
ｃ）▲＞３　すなわち、▲＝４または５

　いま、「255」（▲＝２、■＝５、●＝５）という数字をパンチカードで選んで、判定結果が「NG」だったとします。選んだ▲＜３ですから、判定結果ａに相当します。したがって、正解の数字の▲はａには相当しない、ということを示しています。すなわち、▲＝3,4,5のいずれかになります。よって、記録シートから「▲＜３」の選択肢を消すのと合わせて、▲の選択肢から「1」「2」を消せます。
　逆に、同じ「255」に対して判定結果が「OK」だったなら、正解の数字の▲もａに相当することを示しています。よって、▲＝1,2のいずれか、であることが分かります。よって、記録シートから「▲＜３」以外の選択肢を消すと同時に、▲の選択肢から「1」「2」以外を消せます。つまり、「判定結果の選択肢と同時に、数字の選択肢を消せる」のです。これが、「Ｘパラドックス」がない、比較的に簡単な状況です。

判定結果の選択肢が消えても、数字の選択肢は消えない！

　以上を踏まえて、 「Xパラドックス」の対象となる、下のカードを考えます（No.26）。▲または■または●のどれか１個だけについて、「３より小さい」に該当するかを判定します。どの記号について判定しているかは決まっているのですが、明示はされません。手がかりを集めない限り、分かりません。また、判定する記号以外の２つの記号については、何の判定もしません。


　先ほどと同様、「255」（▲＝２、■＝５、●＝５） で判定してみます。判定結果が「NG」とします。仮定した数字は、▲＜3、■≧3、●≧3で、左端の判定結果「▲＜３」のみに該当します。判定している記号がどれかによって、以下のいずれか１つが正しい記述となります。
イ）▲についてだけ判定している。そして、▲＜3ではない。■●は不明。
ロ）■についてだけ判定している。そして、■≧３ではない。▲●は不明。
ハ）●についてだけ判定している。そして、●≧３ではない。▲■は不明。

　この結果から、少なくとも記録シートの選択肢から「▲＜３」は消せます。まず、記述イ）が正しいとすれば、「▲＜３ではない」です。また、記述ロ）ハ）が正であれば、「▲＜３」の判定はしていないので、やはりこの選択肢を消せます。ここで注意が必要なのは、▲の選択肢は、依然１～５のすべてが残ることです。「▲＜３」が消えるのならば、▲＝1,2を消してしまいたくなるかもしれません。しかし、ロ）ハ）の記述が正しい場合は、▲については一切の評価をせず、判定「NG」が出ます。したがって、依然として▲＝１または２の可能性が残っているのです。
　つまり、「判定結果の選択肢は消えるが、数字の選択肢は消えない」のです。前述のNo.2のカードで見られた「判定結果の選択肢と同時に、数字の選択肢を消せる」とは、状況が異なります。このような一見矛盾したような現象が起こることを、「Ｘパラドックス」と呼んでいます。

　一方、同じ「255」を入れて、判定結果が「OK」だとします。この場合は、■または●について判定していることはあり得ません。どちらも、３以上の数字を入力しているからです。したがって、以下の記述が正しいことになります。
イ’）▲についてだけ判定している。そして、▲＜３である。■●は不明。

　この結果から、記録シートの選択肢は「▲＜３」だけが残り、「■＜３」「●＜３」は消えます。これに伴って、数字の可能性として、▲＝3,4,5を消せます。ただし依然として、■と●の数字の選択肢は減りません。■と●については、「判定結果の選択肢は消えるが、数字の選択肢は消えない」のです。

★もっと複雑な場合は、どうなるのだろう？

　再び以上を踏まえて、さらに複雑なカードを検討します（No.40）。このカードでは、▲か■か●のどれかについて、３との大小関係を判定します。先のカードNo.26と似ていますが、それぞれの判定結果が「３より小さい」「３と同じ」「３より小さい」の３通りに分かれます。計９通りの、判定結果の可能性があるわけです。


　考え方は同じです。「255」（▲＝２、■＝５、●＝５） で判定して、判定結果「NG」とします。仮定した数字は、▲＜3、■＞3、●＞3です。これがNGと言うのだから、以下のいずれか１つが正しい記述となります。
イ）▲についてだけ判定している。そして、▲＜3ではない。■●は不明。
ロ）■についてだけ判定している。そして、■＞３ではない。▲●は不明。
ハ）●についてだけ判定している。そして、●＞３ではない。▲■は不明。

　もし、イ）が正しいならば、「▲＜３」が選択肢として消える。と同時に、■に関する判定すべてと、●に関する判定すべても消えます。■●については判定しないからです。同様に、ロ）が正しいならば、「■＞３」と、▲・●に関する判定がすべて消えます。ハ）が正しければ、「●＞３」と、▲・■に関する判定がすべて消える、となります。

　以上の３通りの結果すべてを総合すると、イ）ロ）ハ）どの場合にも、必ず消える項目があります。それは、「▲＜３」「■＞３」「●＞３」の３項目です。よって、記録シートから、これらの判定結果の選択肢を消せます。ただし、依然として▲＝1,2は可能性として残りますし、■＝4,5や●＝4,5も消えません。ここでもやはり、「判定結果の選択肢は消えるが、数字の選択肢は消えない」のです。

　そして最後に、「255」を入れて、判定結果「OK」だった場合を考えます。この場合は、以下３通りの可能性が残ります。
イ’）▲についてだけ判定している。そして、▲＜3である。■●は不明。
ロ’）■についてだけ判定している。そして、■＞３である。▲●は不明。
ハ’）●についてだけ判定している。そして、●＞３である。▲■は不明。

　もし、イ’）が正解とすると、「▲＜３」以外の▲の選択肢と、■●についての選択肢すべてが消えます。ロ’）なら「■＞３」以外の■の選択肢と、▲●の選択肢すべて。ハ’）であれば「●＞３」以外が消えます。
　以上の３通りの結果を総合すると、イ’）ロ’）ハ’）どの場合でも、「▲＜３」「■＞３」「●＞３」以外の項目は必ず消えます。すなわち、この３個の選択肢だけが残るのです。ところがやはり、この結果によって▲＝1,2だけに絞られたり、■＝4,5や●＝4,5などに絞られたりすることはありません。「判定結果の選択肢は消えるが、数字の選択肢は消えない」が、同様に成り立ちます。

★結局、どう考えれば良いのか？

　以上のように、「Ｘパラドックス」は、詳細に考えると、ひとことで説明するのが難しいことが分かります。しかし、ゲームで行うことは、非常に単純です。どんな条件が来ても、以下の手順を取れば、基本的に問題ありません。

◎判定結果＝ＮＧのときの手順

１）提案した数字が該当する判定結果の選択肢を、すべて消す。
２）残った選択肢を確認し、すべての選択肢に該当しない数字があれば消す。

◎判定結果＝ＯＫのときの手順

１）提案した数字が該当する判定結果の選択肢だけ残し、他をすべて消す。
２）残った選択肢を確認し、すべての選択肢に該当しない数字があれば消す。 

　ポイントは、「判定の選択肢の消去」と「数字の選択肢の消去」を、分けて行うことです。この２つは、一般的には連動しないからです。

　再び下の簡単なカード（No.2）を用いて、この手順を試してみます。


　「255」（▲＝２、■＝５、●＝５） を入れて、判定NGとします。提案した数字が該当する選択肢は「▲＜３」のみなので、手順にしたがい、この選択肢だけを消します。
　次に、残った選択肢を見ると、「▲＝３」「▲＞３」 となっています。つまり、▲の可能性として、▲＝3,4,5以外はありません。よって、▲＝1,2を消せます。

　一方、「255」での判定OKだったときは、提案した数字が該当する選択肢は「▲＜３」です。手順にしたがい、これ以外の選択肢「▲＝３」「▲＞３」を消します。
　すると、残った選択肢が「▲＜３」のみであるので、▲の可能性は▲＝1,2だけとなります。すなわち、▲＝3,4,5は消せます。


　そして次は、「Ｘパラドックス」のある複雑なカードNo.40です。


　「255」（▲＝２、■＝５、●＝５） を入れて、判定NGなら、提案した数字が該当する選択肢は「▲＜３」「■＞３」「●＞３」の３個です。手順にしたがい、これら３個の選択肢を消します。
　次に、「残った選択肢を見て数字を消す」手順となります。しかし、左端では■●の評価をせず、中央では▲●の評価をせず、右端では▲■の評価をしない、となっています。すなわち、▲■●のいずれも、評価されない可能性があります。どの記号が評価され、どれがされないか不明なので、数字の選択肢を狭めることができません。

　一方、「255」での判定OKだったときは、提案した数字が該当する選択肢は「▲＜３」「■＞３」「●＞３」です。手順どおり、これら以外の選択肢６個が消えます。
　残った選択肢は「▲＜３」「■＞３」「●＞３」ですが、やはり▲■●とも、評価対象外となる可能性が残っています。したがって、まだ、数字の選択肢を狭めることができないのです。

　ポイントは、選択肢が消えたからといって、すぐに数字を消すのではなく、選択肢が消えた後に、あらためて選択肢全体を見渡して、数字が消せるかどうかを別途判断することです。

★まとめ：もう「Ｘパラドックス」にだまされないぞ！

　以上の手順を踏めば、複雑な判定カードに対しても、正しい結論を導けるようになるはずです。特に、上級編の「エクストリームモード」では、各スロットに判定カード２枚が置かれ、どちらか１枚はニセモノという設定になります。この問題を正しく解くには、上述のような「Ｘパラドックス」の理解が不可欠となります。

 



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